Область определения функции: \({\left( {x + 12} \right)^{11}} > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x > -12.\)
Воспользуемся свойством логарифмов: \({\log _a}{b^p} = p{\log _a}b.\)
Тогда: \(y = 11x-11\,\,\ln \left( {x + 12} \right) + 1.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = 11-\dfrac{{11}}{{x + 12}}.\)
Найдём нули производной:
\(11-\dfrac{{11}}{{x + 12}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 12}}{{11}} = \dfrac{1}{{11}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x + 12 = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -11.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, точка минимума \(x = -11.\)
Ответ: \(-11.\)