Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \left( {a + 4} \right){x^2}-2ax + 2\left( {a-3} \right).\)
Функция будет убывать на всей числовой прямой, если \(y’ \le 0\). Для этого должны выполняться условия:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 4 < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{D = 4{a^2}-8\left( {a + 4} \right)\left( {a-3} \right) \le 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;-6} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right)}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;-6} \right].\)
Следовательно, наибольшее целое значение равно \(-6.\)
Ответ: \(-6.\)