Исследование функций на монотонность и экстремумы. Задача 8

Задача 8. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\) и отмечены точки \(-2,\;\,-1,\;\,3,\;\,4\). В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках 3, 4 (так как в них функция убывает) и положительна в точках -2, -1 (так как в них функция возрастает). Следовательно, значение производной будет наименьшим либо в точке 3, либо в точке 4. В точке 3 касательная образует угол наклона равный \({\rm{\alpha }}\), а в точке 4 угол \({\rm{\beta }}\) (см. рисунок). Так как \({\rm{\alpha }}\, > \,{\rm{\beta }}\) и \({\rm{\alpha }},\,{\rm{\beta }} \in \left( {{{90}^ \circ };\,{{180}^ \circ }} \right)\), то \({\rm{tg}}\,{\rm{\alpha }}\, > \,{\rm{tg}}\,{\rm{\beta }}\), поэтому значение производной из 4 заданных точек будет наименьшим в точке 4.

Ответ: 4.