Исследование функций на монотонность и экстремумы. Задача 9math100admin44242024-07-17T22:29:27+03:00
Задача 9. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( {-8;10} \right)\). Найдите количество точек максимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ {-7;\;7} \right]\).
Решение
Значение производной \(f’\left( x \right)\) в точках максимума и минимума функции \(f\left( x \right)\) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек максимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «+» на «-». В данном случае на отрезке \(\left[ {-7;\,7} \right]\) производная равна нулю в точках \(x = -3,\,\,x = -1,\,\,x = 2,\,\,x = 4,\,\,x = 6\) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках \(\left[ {-7;\,-3} \right],\,\,\left[ {-1;\,2} \right]\) и \(\left[ {4;\,6} \right]\) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках \(\left[ {-3;\,-1} \right],\,\,\left[ {2;\,4} \right]\) и \(\left[ {6;\,7} \right]\) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак с «+» на «-» только при переходе через точки \(x = -1\) и \(x = 4\), поэтому функция имеет 2 точки максимума.
Ответ: 2.