Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = 2 \cdot {\left( x \right)^\prime } + \dfrac{{800′ \cdot x-800 \cdot x’}}{{{x^2}}} + 11′ = 2 + \dfrac{{0 \cdot x-800}}{{{x^2}}} = 2-\dfrac{{800}}{{{x^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\(2-\dfrac{{800}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2{x^2}-800}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-800 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -20,}\\{x = 20.\,\,\,}\end{array}} \right.} \right.\)
Значение \(x = -20\, \notin \,\left[ {0,5;30} \right]\). Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {0,5;30} \right]\), то есть в точках \(x = 0,5,\,\,x = 30\) или в точке \(x = 20:\)
\(y\left( {0,5} \right) = 2 \cdot 0,5 + \dfrac{{800}}{{0,5}} + 11 = 1612;\)
\(y\left( {30} \right) = 2 \cdot 30 + \dfrac{{800}}{{30}} + 11 = \dfrac{{293}}{3};\)
\(y\left( {20} \right) = 2 \cdot 20 + \dfrac{{800}}{{20}} + 11 = 91.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно 91.
Ответ: 91.