Область определения функции: \({x^2}-8x + 80 \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2}-8x + 80} }} \cdot {\left( {{x^2}-8x + 80} \right)^\prime } = \dfrac{{2x-8}}{{2\sqrt {{x^2}-8x + 80} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{{2x-8}}{{2\sqrt {{x^2}-8x + 80} }} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x-8 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 4.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = 4\) точка минимума и наименьшее значение функции будет в точке \(x = 4\).
\(y\left( 4 \right) = \sqrt {{4^2}-8 \cdot 4 + 80} = \sqrt {64} = 8.\)
Ответ: 8.