Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {2{x^2}-28x + 28} \right)^\prime }{e^{x-12}} + \left( {2{x^2}-28x + 28} \right){\left( {{e^{x-12}}} \right)^\prime } = \)
\( = \left( {4x-28} \right){e^{x-12}} + \left( {2{x^2}-28x + 28} \right){e^{x-12}} = \left( {4x-28 + 2{x^2}-28x + 28} \right){e^{x-12}} = \left( {2{x^2}-24x} \right){e^{x-12}}.\)
Найдём нули производной:
\(\left( {2{x^2}-24x} \right){e^{x-12}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {2x-24} \right) = 0,}\\{{e^{x-12}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,}\\{x = 12.}\end{array}} \right.\)
Значение \(x = 0\, \notin \,\left[ {9;23} \right]\). Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {9;23} \right]\), то есть в точках \(x = 9,\,\,\,x = 23\) или в точке \(x = 12.\)
\(y\left( 9 \right) = \left( {2 \cdot {9^2}-28 \cdot 9 + 28} \right){e^{9-12}} = -\dfrac{{62}}{{{e^3}}};\)
\(y\left( {23} \right) = \left( {2 \cdot {{23}^2}-28 \cdot 23 + 28} \right){e^{23-12}} = 442{e^{11}};\)
\(y\left( {12} \right) = \left( {2 \cdot {{12}^2}-28 \cdot 12 + 28} \right){e^{12-12}} = -20.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно \(-20.\)
Ответ: \(-20.\)