Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime }-3{\left( {{e^x}} \right)^\prime } + 2′ = {e^{2x}} \cdot {\left( {2x} \right)^\prime }-3{e^x} = 2{e^{2x}}-3{e^x}.\)
Найдём нули производной:
\(2{e^{2x}}-3{e^x} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{e^x}\left( {2{e^x}-3} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^x} = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2{e^x}-3 = 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = {{\log }_e}1,5.} \right.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {0;3} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = {\log _e}1,5\) точка минимума и наименьшее значение функции будет в точке \(x = {\log _e}1,5\):
\(y\left( {{{\log }_e}1,5} \right) = {e^{2{{\log }_e}1,5}}-3 \cdot {e^{{{\log }_e}1,5}} + 2 = {e^{{{\log }_e}2,25}}-3 \cdot 1,5 + 2 = 2,25-4,5 + 2 = -0,25.\)
Ответ: \(-0,25.\)