Область определения функции: \(x + 2 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-2;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{3}{{x + 2}}-3.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{3}{{x + 2}}-3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{-3x-3}}{{x + 2}} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,-3x-3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -1.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {-1,5;0} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = -1\) точка максимума и наибольшее значение функции будет в точке \(x = -1:\)
\(y\left( {-1} \right) = 3\ln \left( {-1 + 2} \right)-3 \cdot \left( {-1} \right) + 10 = 3\ln 1 + 13 = 13.\)
Ответ: 13.