Область определения функции: \(5x > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = 5-\dfrac{1}{{5x}} \cdot {\left( {5x} \right)^\prime } = 5-\dfrac{1}{{5x}} \cdot 5 = 5-\dfrac{1}{x}.\)
Найдём нули производной:
\(5-\dfrac{1}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\dfrac{1}{{10}};\dfrac{1}{2}} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = \dfrac{1}{5}\) точка минимума и наименьшее значение функции будет в точке \(x = \dfrac{1}{5}:\)
\(y\left( {\dfrac{1}{5}} \right) = 5 \cdot \dfrac{1}{5}-\ln \left( {5 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) + 12 = 1-\ln 1 + 12 = 13.\)
Ответ: 13.