Область определения функции: \(12x > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{1}{{12x}} \cdot {\left( {12x} \right)^\prime }-12 = \dfrac{1}{{12x}} \cdot 12-12 = \dfrac{1}{x}-12.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{1}{x}-12 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{{12}}.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\dfrac{1}{{24}};\dfrac{5}{{24}}} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = \dfrac{1}{{12}}\) точка максимума и наибольшее значение функции будет в точке \(x = \dfrac{1}{{12}}:\)
\(y\left( {\dfrac{1}{{12}}} \right) = \ln \left( {12 \cdot \dfrac{1}{{12}}} \right)-12 \cdot \dfrac{1}{{12}} + 2 = \ln 1-1 + 2 = 1.\)
Ответ: 1.