Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = 4x-12 + \dfrac{8}{x}.\)
Найдём нули производной:
\(4x-12 + \dfrac{8}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-3x + 2}}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 2.}\end{array}} \right.\)
Значение \(x = 2\, \notin \,\left[ {\dfrac{{12}}{{13}};\dfrac{{14}}{{13}}} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\dfrac{{12}}{{13}};\dfrac{{14}}{{13}}} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции:
Следовательно, \(x = 1\) точка максимума и наибольшее значение функции будет в точке \(x = 1:\)
\(y\left( 1 \right) = 2-12 + 8\ln 1 + 12 = 2.\)
Ответ: 2.