Область определения функции:
\(\cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{8}{{{{\cos }^2}x}}-8 = \dfrac{{8-8{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{8\left( {1-{{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{8{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 8{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = 8{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \ge 0\) при \(x\, \in \,\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right].\)
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) будет принимать в точке \(x = 0:\)
\(y\left( 0 \right) = 8{\rm{tg}}0-8 \cdot 0 + 4 = 4.\)
Ответ: 4.