Область определения функции:
\(\cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}-2 = \dfrac{{2-2{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2\left( {1-{{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \ge 0\) при \(x\, \in \,\left[ {-\dfrac{\pi }{4};0} \right].\)
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{4};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = 0:\)
\(y\left( 0 \right) = 2{\rm{tg}}0-2 \cdot 0 + 5 = 5.\)
Ответ: 5.