Задача 45. Найдите наименьшее значение функции \(y = 2\,{\text{tg}}\,x-4x + \pi -9\) на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{3};\,\dfrac{\pi }{3}} \right]\)
ОТВЕТ: -7.
Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}-4.\) Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\), воспользовавшись формулой понижения степени: \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}-4 = 0,}\\{-\dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = \dfrac{1}{2},}\\{-\dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2},}\\{-\dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,\,\,}\\{-\dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2},\,\,\,n\, \in \,Z}\\{-\dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -\dfrac{\pi }{4},\,\,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4}.\) Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) и изобразим на рисунке поведение функции: Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {-\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) будет в точках \(x = -\dfrac{\pi }{3}\) или \(x = \dfrac{\pi }{4}\). \(y\left( {-\dfrac{\pi }{3}} \right) = 2\,{\rm{tg}}\left( {-\dfrac{\pi }{3}} \right)-4 \cdot \left( {-\dfrac{{\rm{\pi }}}{3}} \right) + {\rm{\pi }}-9 = -2\sqrt 3 + \dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{3}-9;\) \(y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 2\,{\rm{tg}}\dfrac{\pi }{4}-4 \cdot \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + {\rm{\pi }}-9 = 2-9 = -7.\) Так как \(-7 < -2\sqrt 3 + \dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{3}-9\), то наименьшее значение равно \(-7\). Ответ: \(-7\). 