Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = {2^{3x + 1}} \cdot \ln 2 \cdot {\left( {3x + 1} \right)^\prime }-9 \cdot {2^{2x}} \cdot \ln 2 \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } + 12 \cdot {2^x} \cdot \ln 2 = \)
\( = 3 \cdot {2^{3x + 1}} \cdot \ln 2-18 \cdot {2^{2x}} \cdot \ln 2 + 12 \cdot {2^x} \cdot \ln 2.\)
Найдём нули производной:
\(3 \cdot {2^{3x}} \cdot 2 \cdot \ln 2-18 \cdot {2^{2x}} \cdot \ln 2 + 12 \cdot {2^x} \cdot \ln 2 = 0\left| {:6\ln 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{2^{3x}}-3 \cdot {2^{2x}} + 2 \cdot {2^x} = 0.} \right.\)
Пусть \({2^x} = t,\,\,\,t > 0.\) Тогда:
\({t^3}-3{t^2} + 2t = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,t\left( {{t^2}-3t + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^2}-3t + 2 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = 1,}\\{t = 2.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 0,}\\{{2^x} = 1,}\\{{2^x} = 2\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\)
Значение \(x = 0\, \notin \,\left[ {1;2} \right].\) Найдём значение функции на концах отрезка \(\left[ {1;2} \right]\), то есть в точках \(x = 1\) и \(x = 2:\)
\(y\left( 1 \right) = {2^4}-9 \cdot {2^2} + 12 \cdot 2 = 16-36 + 24 = 4;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^7}-9 \cdot {2^4} + 12 \cdot {2^2} = 128-144 + 48 = 32.\)
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции равна: \(32 + 4 = 36.\)
Ответ: 36.