Область определения функции: \(x\, \in \,\left[ {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}}-3 = \sqrt x -3.\)
Найдём нули производной:
\(\sqrt x -3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 9.\)
Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {0;18} \right]\), то есть в точках \(x = 0,\,\,x = 18\) или в точке \(x = 9:\)
\(y\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \cdot {0^{\frac{3}{2}}}-3 \cdot 0 + 5 = 5;\)
\(y\left( {18} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot {18^{\frac{3}{2}}}-3 \cdot 18 + 5 = 12\sqrt {18} -49;\)
\(y\left( 9 \right) = \dfrac{2}{3} \cdot {9^{\frac{3}{2}}}-3 \cdot 9 + 5 = -4.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно \(-4.\)
Ответ: \(-4.\)