Область определения функции: \(x\, \in \,\left[ {0; + \infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 = -\sqrt x + 3.\)
Найдём нули производной:
\(-\sqrt x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 9.\)
Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {4;19} \right]\), то есть в точках \(x = 4,\,\,x = 19\) или в точке \(x = 9:\)
\(y\left( 4 \right) = -\dfrac{2}{3} \cdot {4^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 4 = \dfrac{{20}}{3};\)
\(y\left( {19} \right) = -\dfrac{2}{3} \cdot {19^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 19 = 57-\dfrac{{38\sqrt {19} }}{3};\)
\(y\left( 9 \right) = -\dfrac{2}{3} \cdot {9^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 9 = 9.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 9.
Ответ: 9.