Область определения функции: \(x\, \in \,\left[ {0; + \infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)
Тогда: \(y = \dfrac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}}-12x + 90.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}-12 = \dfrac{1}{2}\sqrt x -12.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{1}{2}\sqrt x -12 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 24\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 576.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на промежутке \(x\, \in \,\left[ {3;583} \right].\)
Следовательно, \(x = 576\) точка минимума и наименьшее значение функции будет в точке \(x = 576\):
\(y\left( {576} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot 576 \cdot \sqrt {576} -12 \cdot 576 + 90 = -2214.\)
Ответ: \(-2214.\)