Задачи на максимум и минимум. Задача 1

Задача 1. Сумма двух целых чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Ответ

ОТВЕТ: 5 и 5.

Решение

Пусть первое число равно \(x\), тогда второе \(10-x\). Их произведение:

\(y = x\left( {10-x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = -{x^2} + 10x.\)

Найдём производную полученной функции и её нули:

\(y’ = -2x + 10;\,\,\,\,\,\,-2x + 10 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 5.\)

Проверим точку \(x = 5\) на экстремум:

Следовательно, \(x = 5\)-точка максимума и произведение чисел будет наибольшим, если первое число равно 5 и второе число \(10-5 = 5\).

Ответ: 5 и 5.