Задача 11. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24, 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.

Ответ

ОТВЕТ: 12 и 9 см. 

Решение

Пусть: \(AC = 18,\,\,\,\,\,\,CB = 24,\)  \(KC = x,\,\,\,\,\,KM = y,\,\,\,\,\,\,\,x,y > 0.\)  Тогда \(AK = 18-x.\)

Треугольники AKM и ACB подобны по двум углам. Следовательно: 

\(\dfrac{{AK}}{{KM}} = \dfrac{{AC}}{{CB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{18-x}}{y} = \dfrac{{18}}{{24}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 24-\dfrac{4}{3}x.\)

Тогда:

\({S_{CKMP}} = x \cdot y = x\left( {24-\dfrac{4}{3}x} \right) = 24x-\dfrac{4}{3}{x^2}.\)

Найдём производную полученной функции и её нули:

\(S’ = 24-\dfrac{8}{3}x;\,\,\,\,\,24-\dfrac{8}{3}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)

Проверим точку \(x = 9\) на экстремум:

Следовательно, \(x = 9\) – точка максимума и при этом значении площадь прямоугольника будет наибольшей. Поэтому стороны прямоугольника СКМР:   \(x = 9,\,\,\,\,\,y = 24-\dfrac{4}{3} \cdot 9 = 12.\)

Ответ:  9 и 12 см.