Пусть: \(AC = 18,\,\,\,\,\,\,CB = 24,\) \(KC = x,\,\,\,\,\,KM = y,\,\,\,\,\,\,\,x,y > 0.\) Тогда \(AK = 18-x.\)
Треугольники AKM и ACB подобны по двум углам. Следовательно:
\(\dfrac{{AK}}{{KM}} = \dfrac{{AC}}{{CB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{18-x}}{y} = \dfrac{{18}}{{24}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 24-\dfrac{4}{3}x.\)
Тогда:
\({S_{CKMP}} = x \cdot y = x\left( {24-\dfrac{4}{3}x} \right) = 24x-\dfrac{4}{3}{x^2}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(S’ = 24-\dfrac{8}{3}x;\,\,\,\,\,24-\dfrac{8}{3}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)
Проверим точку \(x = 9\) на экстремум:
Следовательно, \(x = 9\) – точка максимума и при этом значении площадь прямоугольника будет наибольшей. Поэтому стороны прямоугольника СКМР: \(x = 9,\,\,\,\,\,y = 24-\dfrac{4}{3} \cdot 9 = 12.\)
Ответ: 9 и 12 см.