Задачи на максимум и минимум. Задача 12

Задача 12. В круг с каким радиусом можно вписать прямоугольник наибольшей площади с периметром, равным 56 см?

Ответ

ОТВЕТ: \(R = 7\sqrt 2 \) см.

Решение

Пусть стороны прямоугольника \(AB = x,\,\,\,AD = y,\,\,\,\,\,\,x,y > 0.\) Тогда:

\(2x + 2y = 56\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x + y = 28.\)

\(S = x \cdot y = x\left( {28-x} \right) = 28x-{x^2}.\)

Найдём производную полученной функции и её нули:

\(S’ = 28-2x;\,\,\,\,\,\,28-2x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 14.\)

Проверим точку \(x = 14\) на экстремум:

Следовательно, \(x = 14\) – точка максимума и при этом значении площадь прямоугольника будет наибольшей. Поэтому стороны прямоугольника равны 14 см, то есть он является квадратом с диагональю \(14\sqrt 2 \), которая является диаметром окружности, а её радиус равен \(7\sqrt 2 .\)

Ответ: \(7\sqrt 2 \) см.