Пусть \(x\) – первое число; где \(x > 0,\) а \(48-x\) – второе число \(48-x > 0,\,\,\,\,x < 48,\) то есть \(x \in \left( {0;48} \right).\) Запишем сумму куба первого и квадрата второго:
\(y = {x^3} + {\left( {48-x} \right)^2}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(y’ = 3{x^2}-2\left( {48-x} \right) = 3{x^2} + 2x-96;\,\,\,\,\,\,3{x^2} + 2x-96 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = -6,\\x = \dfrac{{16}}{3}.\end{array} \right.\)
Проверим точку \(x = \dfrac{{16}}{3}\) на экстремум:
Следовательно, \(x = \dfrac{{16}}{3}\) – точка минимума и при этом значении сумма куба первого числа и квадрата второго будет наименьшей. Поэтому искомые числа \(\dfrac{{16}}{3}\) и \(48-\dfrac{{16}}{3} = \dfrac{{128}}{3}.\)
Ответ: \(\dfrac{{16}}{3}\) и \(\dfrac{{128}}{3}.\)