Задачи на максимум и минимум. Задача 14

Задача 14. Автомобиль едет из пункта A в пункт C. От пункта A до пункта B, расположенного между A и C, он едет со скоростью 48 км/ч. В пункте B он уменьшает свою скорость на а км/ч \(\left( {\,0 < a < 48\,} \right)\) и с этой скоростью едет 1/3 часть пути от B до C. Оставшуюся часть пути от B до C он едет со скоростью, которая на 2а км/ч превышает первоначальную скорость 48 км/ч. При каком значении a автомобиль быстрее всего проделает путь от B до C?

Ответ

ОТВЕТ: 12 км/ч.

Решение

Пусть \(CD = x,\,\,\,\,DB = 2x,\,\,\,\,\,0 < a < 48,\) \({v_{AC}} = 48\) км/ч. \({v_{CD}} = 48-a\) км/ч; \({v_{DB}} = 48 + 2a\) км/ч.

Время на участках CD и DB: \({t_{CD}} = \dfrac{x}{{48-a}};\,\,\,\,\,\,{t_{DB}} = \dfrac{{2x}}{{48 + 2a}},\) а время на участке CB: \({t_{CB}} = \dfrac{x}{{48-a}} + \dfrac{{2x}}{{48 + 2a}}.\)

Найдём производную полученной функции по переменной a и её нули:

\({t’_{CB}} = x\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {48-a} \right)}^2}}}-\dfrac{4}{{{{\left( {48 + 2a} \right)}^2}}}} \right) = x\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {48-a} \right)}^2}}}-\dfrac{1}{{{{\left( {a + 24} \right)}^2}}}} \right).\)

\(\dfrac{1}{{{{\left( {48-a} \right)}^2}}}-\dfrac{1}{{{{\left( {a + 24} \right)}^2}}} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {48-a} \right)^2} = {\left( {a + 24} \right)^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = 12.\)

Проверим точку \(a = 12\) на экстремум:

Следовательно, \(a = 12\) – точка минимума и при этом значении автомобиль быстрее всего проделает путь от B до C.

Ответ: 12 км/ч.