Задачи на максимум и минимум. Задача 15

Задача 15. Лодка находится в точке Q озера, отстоящей от ближайшей точки A на берегу на 6 км. Лодочник должен попасть в точку B, находящуюся на берегу на расстоянии 11 км от A. Скорость лодки 3 км/ч, скорость ходьбы лодочника по берегу 5 км/ч. Лодочник подсчитал, что если он сперва доплывет до точки C, которая находится между A и B, а затем сразу же пешком направится в точку B, то на путь от Q до B он потратит наименьшее время. Найдите расстояние от A до C, считая, что лодка движется прямолинейно и берег озера – прямая линия.

Ответ

ОТВЕТ: 4,5 км.

Решение

По условию \(AB = 11\) км, \(QA = 6\) км. Пусть: \(AC = x,\) где \(0 \le x \le 11\). Тогда \(CB = 11-x.\) По теореме Пифагора \(QC = \sqrt {{x^2} + 36} .\) Запишем время на участках QC и CB:

\({t_{QC}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 36} }}{3};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_{CB}} = \dfrac{{11-x}}{5}.\)

Тогда общее время: \(t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 36} }}{3} + \dfrac{{11-x}}{5}.\)

Найдём производную полученной функции и её нули:

\(t’ = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 36} }}-\dfrac{1}{5} = \dfrac{{5x-3\sqrt {{x^2} + 36} }}{{15\sqrt {{x^2} + 36} }}.\)

\(t’ = \dfrac{{5x-3\sqrt {{x^2} + 36} }}{{15\sqrt {{x^2} + 36} }} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3\sqrt {{x^2} + 36} = 5x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,9{x^2} + 9 \cdot 36 = 25{x^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{9}{2}.\)

Проверим точку \(x = \dfrac{9}{2}\) на экстремум на отрезке \(x \in \left[ {0;11} \right]:\)

Следовательно, \(x = \dfrac{9}{2}\) – точка минимума и при этом значении лодочник потратит наименьшее время на путь от точки Q до точки B.

Ответ: 4,5 км.