Пусть радиус основания цилиндра равен R, а его высота h. Тогда его объём: \(V = \pi {R^2} \cdot h\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}.\)
Площадь поверхности открытого цилиндра:
\(S = \pi {R^2} + 2\pi Rh = \pi {R^2} + 2\pi R \cdot \dfrac{V}{{\pi {R^2}}} = \pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R}.\)
Найдём производную полученной функции по переменной R и её нули:
\(S’ = 2\pi R-\dfrac{{2V}}{{{R^2}}} = \dfrac{{2\pi {R^3}-2V}}{{{R^2}}};\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2\pi {R^3}-2V}}{{{R^2}}} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}.\)
Проверим точку \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}\) на экстремум:
Следовательно, \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}\) – точка минимума и при этом значении площадь поверхности будет наименьшей. Тогда:
\(h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}} = \dfrac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{{\pi ^2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{{{V^3}}}{{\dfrac{{{\pi ^3}{V^2}}}{{{\pi ^2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}.\)
Ответ: \(R = h = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}.\)