Задача 18. В конус с высотой H и радиусом основания R вписан цилиндр так, что одно его основание лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? Найти это наибольшее значение объема.
\(KM = OP = h,\,\,\,\,\,OM = r,\) \(AM = R-r,\,\,\,\,0 < r < R.\) Треугольники AKM и ACO подобные по двум углам. Тогда: \(\dfrac{{KM}}{{AM}} = \dfrac{{CO}}{{AO}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{h}{{R-r}} = \dfrac{H}{R}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = \dfrac{{H\left( {R-r} \right)}}{R}.\) Тогда объём цилиндра: \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2} \cdot \dfrac{{H\left( {R-r} \right)}}{R} = \dfrac{{\pi H}}{R}\left( {R{r^2}-{r^3}} \right).\) Найдём производную полученной функции по переменной r и её нули: \(V’ = \dfrac{{\pi H}}{R}\left( {2Rr-3{r^2}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\pi H}}{R}\left( {2Rr-3{r^2}} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}r = 0,\\r = \dfrac{{2R}}{3}.\end{array} \right.\) Поверим точку \(r = \dfrac{{2R}}{3}\) на экстремум при условии \(r \in \left( {0;R} \right):\) Следовательно, \(r = \dfrac{2}{3}R\) – точка максимума и при этом значении объём цилиндра будет наибольшим. Тогда высота цилиндра: \(h = \dfrac{{H\left( {R-r} \right)}}{R} = \dfrac{{H\left( {R-\frac{2}{3}R} \right)}}{R} = \dfrac{H}{3},\) а его объём: \(V = \pi {r^2}h = \pi \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}R} \right)^2} \cdot \dfrac{H}{3} = \dfrac{{4\pi {R^2}H}}{{27}}.\) Ответ: \(\dfrac{H}{3};\,\,\,\,\,\dfrac{{4\pi {R^2}H}}{{27}}.\)
По условию \(CO = H,\,\,\,\,AO = R.\) Пусть высота и радиус основания цилиндра равны h и r соответственно: