Пусть радиус шара \(OA = R,\) высота цилиндра \(CD = h,\,\,\,\,OK = \dfrac{h}{2},\) а радиус основания цилиндра \(AK = r,\,\,\,\,\,\,0 < r < R.\) По теореме Пифагора из треугольника AOK:
\(O{K^2} + A{K^2} = A{O^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{{h^2}}}{4} = {R^2}-{r^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = 2\sqrt {{R^2}-{r^2}} .\)
Тогда объём цилиндра:
\(V = 2\pi {r^2}h = 4\pi {r^2}\sqrt {{R^2}-{r^2}} .\)
Найдём производную полученной функции по переменной r и её нули:
\(V’ = 4\pi \left( {2r\sqrt {{R^2}-{r^2}} + {r^2} \cdot \dfrac{{\left( {-2r} \right)}}{{2\sqrt {{R^2}-{r^2}} }}} \right) = 4\pi \dfrac{{2r\left( {{R^2}-{r^2}} \right)-{r^3}}}{{\sqrt {{R^2}-{r^2}} }} = 4\pi \dfrac{{2r{R^2}-3{r^3}}}{{\sqrt {{R^2}-{r^2}} }}.\)
\(4\pi \dfrac{{2r{R^2}-3{r^3}}}{{\sqrt {{R^2}-{r^2}} }} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2r{R^2}-3{r^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = \sqrt {\dfrac{2}{3}} R.\)
Проверим точку \(r = \sqrt {\dfrac{2}{3}} R\) на экстремум при условии \(r \in \left( {0;R} \right):\)
Следовательно, \(r = \sqrt {\dfrac{2}{3}} R\) – точка максимума и при этом значении объём цилиндра будет наибольшим. Тогда высота цилиндра:
\(h = 2\sqrt {{R^2}-{r^2}} = 2\sqrt {{R^2}-\dfrac{2}{3}{R^2}} = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}.\)
Найдём отношение объёмов шара и цилиндра:
\(\dfrac{{{V_{hvj}}}}{{{V_{kkjc}}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\pi {r^2}h}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\pi \dfrac{2}{3}{R^2} \cdot \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}}} = \sqrt 3 .\)
Ответ: в \(\sqrt 3 \) раз.