Задача 21. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
В каждой области рабочие трудятся по \(160 \cdot 5 = 800\) часов. Так как алюминий можно заменить никелем, то нужно, чтобы все рабочие первой области добывали никель, так как никеля за час добывают в 3 раза больше, чем алюминия. Тогда за сутки рабочие добудут \(800 \cdot 0,3 = 240\) кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется \({x^2}\) человеко-часов. Тогда на никель рабочие тратят \(800-{x^2}\) человеко-часов, добывая \(\sqrt {800-{x^2}} \) кг. Пусть z кг – масса сплава, добытого во второй области. Тогда: \(z = x + \sqrt {800-{x^2}} .\) Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;20\sqrt 2 } \right].\) Найдём производную: \(z’ = 1-\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {800-{x^2}} }} = 1-\dfrac{x}{{\sqrt {800-{x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {800-{x^2}} -x}}{{\sqrt {800-{x^2}} }}.\) Найдём нули производной: \(\dfrac{{\sqrt {800-{x^2}} -x}}{{\sqrt {800-{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt {800-{x^2}} = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;800-{x^2} = {x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 400\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 20.\) Следовательно, \(x = 20\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 20.\) \(z\left( {20} \right) = 20 + \sqrt {800-400} = 40\) кг. В двух областях за сутки можно добыть: \(240 + 40 = 280\) кг. Ответ: 280.