Задача 22. Строительство нового завода стоит 140 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны \(0,4{x^2} + x + 5\) млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(p\,x — \left( {0,4{x^2} + x + 5} \right)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 4 года?

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Прибыль за 1 год выражается формулой:  \(y = px-\left( {0,4{x^2} + x + 5} \right).\)  Для того чтобы завод окупился не более чем за 3 года, необходимо, чтобы:

\(px-\left( {0,4{x^2} + x + 5} \right) \ge 35\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;px-0,4{x^2}-x-5 \ge 35\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2,5\left( {1-p} \right)x + 100 \le 0.\)

Последнее неравенство будет иметь решение, если  \(D \ge 0.\)

\(D = 6,25{\left( {1-p} \right)^2}-4 \cdot 100 \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {p-1} \right)^2} \ge 64\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p-1 \le -8,}\\{p-1 \ge 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{p \le -7,}\\{p \ge 9.\,\;\,}\end{array}} \right.\)

Так как по условию  p  – цена за единицу продукции, то  \(p \ge 9.\)  Следовательно,  наименьшее значение:  \(p = 9\)  тыс. руб.

Ответ:  9.