Задачи на максимум и минимум. Задача 3math100admin44242024-06-15T11:10:07+03:00
Задача 3. Периметр прямоугольника равен 100 см. Найдите его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь.
Решение
Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\), где \(x > 0\). Тогда вторая сторона \(50-x,\) а площадь прямоугольника:
\(S = x\left( {50-x} \right) = -{x^2} + 50x.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\({S^\prime } = -2x + 50:\,\,\,\,\,\,-2x + 50 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 25.\)
Проверим точку \(x = 25\) на экстремум:
Следовательно, \(x = 25\)-точка максимума и площадь будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны по 25 см.
Ответ: 25 см и 25 см.