Задачи на максимум и минимум. Задача 4math100admin44242024-06-15T11:11:33+03:00
Задача 4. Участок прямоугольной формы необходимо огородить забором длиной 300 м. Какими должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Решение
Так как длина забора равна 300 м, то периметр прямоугольника равен 300 м. Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\), где \(x > 0\). Тогда вторая сторона \(150-x,\) а площадь прямоугольника:
\(S = x\left( {150-x} \right) = -{x^2} + 150x.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\({S^\prime } = -2x + 150:\,\,\,\,\,\,-2x + 150 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 75.\)
Проверим точку \(x = 75\) на экстремум:
Следовательно, \(x = 75\)-точка максимума и площадь будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны по 75 м.
Ответ: 75 м и 75 м.