Пусть первое число \(2x\), где \(x > 0.\) Тогда второе число \(x\), а третье \(27-3x > 0\), где \(27-3x > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x < 9,\) то есть \(x \in \left( {0;9} \right).\) Произведение этих трёх чисел будет равно:
\(y = 2x \cdot x \cdot \left( {27-3x} \right) = 54{x^2}-6{x^3}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(y’ = 108x-18{x^2};\,\,\,\,\,\,108x-18{x^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\left( {108-18x} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\108-18x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 6.\end{array} \right.\)
Проверим точку \(x = 6\) на экстремум на интервале \(x \in \left( {0;\,9} \right)\):
Следовательно, \(x = 6\)-точка максимума и произведение этих слагаемых будет наибольшим, если эти числа: 12, 6, 9.
Ответ: 12, 6, 9.