Пусть первое и второе слагаемые равны по \(x\), где \(x > 0\). Тогда третье число \(24-2x,\) где \(24-2x > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x < 12,\) то есть \(x \in \left( {0;12} \right).\) Произведение этих трёх чисел будет равно:
\(y = x \cdot x \cdot \left( {24-2x} \right) = 24{x^2}-2{x^3}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(y’ = 48x-6{x^2};\,\,\,\,\,48x-6{x^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\left( {48-6x} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\48-6x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 8.\end{array} \right.\)
Проверим точку \(x = 8\) на экстремум на интервале \(x \in \left( {0;\,12} \right)\):
Следовательно, \(x = 8\)-точка максимума и произведение этих слагаемых будет наибольшим, если эти числа: 8, 8, 8.
Ответ: 8, 8, 8.