Пусть сторона основания равна \(x\) дм, где \(x > 0,\) а высота бака рана \(h\) дм, где \(h > 0.\) Тогда объём бака:
\(V = {x^2}h = 108\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = \dfrac{{108}}{{{x^2}}}.\)
Площадь поверхности открытого бака:
\(S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \dfrac{{108}}{{{x^2}}} = {x^2} + \dfrac{{432}}{x}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(S’ = 2x-\dfrac{{432}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2{x^3}-432}}{{{x^3}}};\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2{x^3}-432}}{{{x^3}}} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2{x^3}-432 = 0,\\x \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 6.\)
Проверим точку \(x = 6\) на экстремум:
Следовательно, \(x = 6\) – точка минимума и на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала, если стороны основания будут равны по 6 дм, а высота \(h = \dfrac{{108}}{{{6^2}}} = 3\)дм.
Ответ: 6 дм, 6 дм, 3 дм.