Пусть сторона основания равна \(x\) м, где \(x > 0,\) а высота бака рана \(h\) м, где \(h > 0.\) Тогда объём бака:
\(V = {x^2}h = 125\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h = \dfrac{{125}}{{{x^2}}}.\)
Площадь поверхности закрытого бака:
\(S = 2{x^2} + 4xh = 2{x^2} + 4x \cdot \dfrac{{125}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \dfrac{{500}}{x}.\)
Найдём производную полученной функции и её нули:
\(S’ = 4x-\dfrac{{500}}{{{x^2}}} = \dfrac{{4{x^3}-500}}{{{x^3}}};\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{4{x^3}-500}}{{{x^3}}} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}4{x^3}-500 = 0,\\x \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 5.\)
Проверим точку \(x = 5\) на экстремум:
Следовательно, \(x = 5\) – точка минимума и на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала, если стороны основания будут равны по 5 м, а высота \(h = \dfrac{{125}}{{{5^2}}} = 5\)м.
Ответ: 5 м, 5 м, 5 м.