Первообразная заданной функции будет иметь вид: \(F\left( x \right) = {x^2} + 5x + C.\) Чтобы найденная первообразная касалась прямой \(y = x + 3\) необходимо, чтобы система уравнений \(\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 5x + C,\\y = x + 3\end{array} \right.\) имела одно решение:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 5x + C,\\y = x + 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 5x + C = x + 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 4x + C-3 = 0;\)
\(D = 16-4\left( {C-3} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C = 7.\)
Следовательно, искомая первообразная: \(F\left( x \right) = {x^2} + 5x + 7.\)
Ответ: \(F\left( x \right) = {x^2} + 5x + 7.\)