Определенный интеграл. Задача 6math100admin44242025-03-30T21:33:03+03:00
Задача 6. Вычислите \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\left( {\cos x-\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)
Решение
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) {\Bigg|_a^b} = F\left( b \right)-F\left( a \right),\)
где \(F\left( x \right)\) – первообразная функции \(f\left( x \right).\)
\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\left( {\cos x-\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \left( {\sin x-2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x} \right)} {\Bigg|_0^{\dfrac{\pi }{6}} = }\)
\( = \sin \dfrac{\pi }{6}-2\sqrt 3 {\rm{tg}}\dfrac{\pi }{6}-\left( {\sin 0-2\sqrt 3 {\rm{tg}}0} \right) = \dfrac{1}{2}-2\sqrt 3 \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = -1,5.\)
Ответ: \(-1,5.\)