Площадь криволинейной трапеции. Задача 1

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right)\), где \(F\left( x \right)\)— одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Согласно формуле Ньютона-Лейбница \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right)\), то есть разность первообразных \(F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right)\) есть площадь фигуры ограниченной прямыми \(x = 3\), \(x = 5\) и осью абсцисс, а сверху графиком функции \(f\left( x \right)\). В данном случае необходимо найти площадь прямоугольной трапеции ABCD (см. рисунок) с основаниями \(AD = 2,\,\,\,BC = 1\) и высотой \(CD = 2\).

Следовательно,

\(F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot CD = \dfrac{{2 + 1}}{2} \cdot 2 = 3.\)

Ответ: 3.