Найдём точки пересечения графиков функций: \(y = -{x^2} + 2x + 3\) и \(y = 3-x\):
\(-{x^2} + 2x + 3 = 3-x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-3x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x = 3.}\end{array}} \right.\)
Фигура, ограниченная линиями \(y = -{x^2} + 2x + 3,\,\,\,y = 3-x\) изображена на рисунке (заштрихованная область).
Искомая площадь:
\(S = \int\limits_0^3 {\left( {-{x^2} + 2x + 3-\left( {3-x} \right)} \right)dx = \int\limits_0^3 {\left( {-{x^2} + 2x + 3-3 + x} \right)dx = } } \)
\( = \int\limits_0^3 {\left( {-{x^2} + 3x} \right)dx = \left( {-\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{3{x^2}}}{2}} \right)} {\Bigg|_0^3 = -\dfrac{{{3^3}}}{3} + \dfrac{{3 \cdot {3^2}}}{2}-\left( {-\dfrac{{{0^3}}}{2} + \dfrac{{3 \cdot {0^2}}}{2}} \right) = 4,5.} \)
Ответ: 4,5.