Площадь криволинейной трапеции. Задача 2

Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите \(F\left( 6 \right)-F\left( 2 \right)\), где \(F\left( x \right)\)— одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Согласно формуле Ньютона-Лейбница \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right)dx} = F\left( 6 \right)-F\left( 2 \right)\), то есть разность первообразных \(F\left( 6 \right)-F\left( 2 \right)\) есть площадь фигуры ограниченной прямыми \(x = 2\), \(x = 6\) и осью абсцисс, а сверху графиком функции \(f\left( x \right)\). В данном случае необходимо найти площадь прямоугольной трапеции ABCD (см. рисунок) с основаниями \(AD = 4,\,\,\,BC = 2\) и высотой \(AB = 3\).

Следовательно,

\(F\left( 6 \right)-F\left( 2 \right) = {S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot AB = \dfrac{{4 + 2}}{2} \cdot 3 = 9.\)

Ответ: 9.