Найдём точки пересечения графиков функций: \(y = -{x^2} + 2\) и \(y = {x^2}-2x-2\):
\(-{x^2} + 2 = {x^2}-2x-2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-x-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 2.\,}\end{array}} \right.\)
Фигура, ограниченная линиями \(y = -{x^2} + 2,\,\,\,y = {x^2}-2x-2\) изображена на рисунке (заштрихованная область).
Искомая площадь:
\(S = \int\limits_{-1}^2 {\left( {-{x^2} + 2-\left( {{x^2}-2x-2} \right)} \right)dx = \int\limits_{-1}^2 {\left( {-2{x^2} + 2x + 4} \right)dx = } } \)
\( = \left( {-\dfrac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 4x} \right) {\Bigg|_{-1}^2 = -\dfrac{2}{3} \cdot {2^3} + {2^2} + 4 \cdot 2-\left( {-\dfrac{2}{3} \cdot {{\left( {-1} \right)}^3} + {{\left( {-1} \right)}^2} + 4 \cdot \left( {-1} \right)} \right) = -\dfrac{{16}}{3} + 12-\dfrac{2}{3} + 3 = 9.} \)
Ответ: 9.