Так как точка \(\left( {-1;2} \right)\) принадлежит графику функции \(y = {x^3}-3x\), то запишем уравнение касательной к графику функции \(y = {x^3}-3x\) в точке с абсциссой \(x = -1.\)
Уравнение касательной:
\(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x-{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
В данном случае:
\(y = f\left( x \right) = {x^3}-3x;\,\,\,y’ = f’\left( x \right) = 3{x^2}-3;\,\,\,f\left( {-1} \right) = {\left( {-1} \right)^3} + 3 = 2;\,\,\,f’\left( {-1} \right) = 3 \cdot {\left( {-1} \right)^2}-3 = 0.\)
Тогда уравнение касательной:
\(y = 0 \cdot \left( {x + 1} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = 2.\)
Найдём точки пересечения графиков функций \(y = {x^3}-3x\) и \(y = 2\):
\({x^3}-3x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^3}-3x-2 = 0.\)
Один из корней полученного кубического уравнения \(x = -1.\) Поэтому разделим многочлен \({x^3}-3x-2\) на многочлен \(x + 1\):
Следовательно:
\({x^3}-3x-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x-2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}-x-2 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 2.\,\,}\end{array}} \right.\)
Фигура, ограниченная линиями \(y = {x^3}-3x\) и \(y = 2\) изображена на рисунке (заштрихованная область).
Искомая площадь:
\(S = \int\limits_{-1}^2 {\left( {2-\left( {{x^3}-3x} \right)} \right)} dx = \int\limits_{-1}^2 {\left( {2-{x^3} + 3x} \right)} dx = \left( {2x-\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{3{x^2}}}{2}} \right) {\Bigg|_{-1}^2} = \)
\( = 2 \cdot 2-\dfrac{{{2^4}}}{4} + \dfrac{{3 \cdot {2^2}}}{2}-\left( {2 \cdot \left( {-1} \right)-\dfrac{{{{\left( {-1} \right)}^4}}}{4} + \dfrac{{3 \cdot {{\left( {-1} \right)}^2}}}{2}} \right) = 6 + 2 + \dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2} = 6,75.\)
Ответ: 6,75.