Рассмотрим подынтегральную функцию:
\(y = \sqrt {-2x-{x^2}} \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} = -2x-{x^2},}\\{y \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} = {1^2},}\\{y \ge 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Графиком подынтегральной функции при \(x\, \in \,\left[ {-1;0} \right]\) является четверть окружности, расположенная над осью Ox, с центром в точке \(\left( {-1;0} \right)\) и \(R = 1\) (см. рисунок). Используя геометрический смысл определённого интеграла, получим:
\(\dfrac{1}{\pi }\int\limits_{-1}^0 {\sqrt {-2x-{x^2}} } dx = \dfrac{1}{\pi } \cdot \dfrac{{\pi \cdot {1^2}}}{4} = 0,25.\)
Ответ: 0,25.