Площадь криволинейной трапеции. Задача 5math100admin44242025-03-30T21:43:38+03:00
Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = \dfrac{2}{3}{x^3} + 20{x^2} + 201x-\dfrac{6}{{13}}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
Площадь закрашенной фигуры равна интегралу \(\int\limits_{-11}^{-8} {\left( x \right)dx} = F\left( {-8} \right)-F\left( {-11} \right).\) Найдём значение первообразной в точках – 8 и – 11:
\(F\left( {-8} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot {\left( {-8} \right)^3} + 20 \cdot {\left( {-8} \right)^2} + 201 \cdot \left( {-8} \right)-\dfrac{6}{{13}} = -\dfrac{{2008}}{3}-\dfrac{6}{{13}}\)
\(F\left( {-11} \right) = \dfrac{2}{3} \cdot {\left( {-11} \right)^3} + 20 \cdot {\left( {-11} \right)^2} + 201 \cdot \left( {-11} \right)-\dfrac{6}{{13}} = -\dfrac{{2035}}{3}-\dfrac{6}{{13}}.\)
Тогда площадь закрашенной фигуры:
\(S = F\left( {-8} \right)-F\left( {-11} \right) = -\dfrac{{2008}}{3}-\dfrac{6}{{13}}-\left( {-\dfrac{{2035}}{3}-\dfrac{6}{{13}}} \right) = 9.\)
Ответ: 9.