Площадь криволинейной трапеции. Задача 6math100admin44242025-03-30T21:45:07+03:00
Задача 6. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = -\dfrac{1}{{12}}{x^3}-\dfrac{3}{2}{x^2}-\dfrac{{27}}{4}x-\dfrac{3}{4}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
Площадь закрашенной фигуры равна интегралу \(\int\limits_{-9}^{-3} {\left( x \right)dx} = F\left( {-3} \right)-F\left( {-9} \right).\) Найдём значение первообразной в точках – 3 и – 9:
\(F\left( {-3} \right) = -\dfrac{1}{{12}} \cdot {\left( {-3} \right)^3}-\dfrac{3}{2} \cdot {\left( {-3} \right)^2}-\dfrac{{27}}{4} \cdot \left( {-3} \right)-\dfrac{3}{4} = \dfrac{{33}}{4}\)
\(F\left( {-9} \right) = -\dfrac{1}{{12}} \cdot {\left( {-9} \right)^3}-\dfrac{3}{2} \cdot {\left( {-9} \right)^2}-\dfrac{{27}}{4} \cdot \left( {-9} \right)-\dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}\)
Тогда площадь закрашенной фигуры:
\(S = F\left( {-3} \right)-F\left( {-9} \right) = \dfrac{{33}}{4}-\left( {-\dfrac{3}{4}} \right) = 9.\)
Ответ: 9.