Площадь криволинейной трапеции. Задача 9math100admin44242025-03-30T21:46:41+03:00
Задача 9. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями \(y = -{x^2} + 9x-18,\,\,y = 0\)
Решение
Найдём точки пересечения графика функции \(y = -{x^2} + 9x-18\) с осью Ox:
\(-{x^2} + 9x-18 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 6.}\end{array}} \right.\)
Фигура, ограниченная линиями \(y = -{x^2} + 9x-18,\,\,\,y = 0\) изображена на рисунке (заштрихованная область). Искомая площадь:
\(S = \int\limits_3^6 {\left( {-{x^2} + 9x-18} \right)dx = \left( {-\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{9{x^2}}}{2}-18x} \right) {\Bigg|_3^6 = }} \)
\( = -\dfrac{{{6^3}}}{3} + \dfrac{{9 \cdot {6^2}}}{2}-18 \cdot 6-\left( {-\dfrac{{{3^3}}}{3} + \dfrac{{9 \cdot {3^2}}}{2}-18 \cdot 3} \right) = -72 + 162-108 + 9-40,5 + 54 = 4,5.\)
Ответ: 4,5.