Системы неравенств. Задача 1

ОТВЕТ: \(\left\{ 3 \right\} \cup \left( {4;\,{{\log }_2}17} \right].\)

Решим первое неравенство:

\({2^x} + 17 \cdot {2^{3-x}} \le 25\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{2^x} + \dfrac{{17 \cdot 8}}{{{2^x}}} \le 25\left| { \cdot {2^x} > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{2^{2x}}-25 \cdot {2^x} + 136 \le 0.} \right.\)

Пусть \({2^x} = t,\) тогда:

\({t^2}-25t + 136 \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {t-8} \right)\left( {t-17} \right) \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,8 \le t \le 17.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(8 \le {2^x} \le 17\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{2^3} \le {2^x} \le {2^{{{\log }_2}17}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,3 \le x \le {\log _2}17.\)

Решим второе неравенство:

\(\dfrac{{{x^2}-3x-5}}{{x-4}} + \dfrac{{3{x^2}-15x + 2}}{{x-5}} \le 4x + 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-4x + x-4-1}}{{x-4}} + \dfrac{{3\left( {{x^2}-5x} \right) + 2}}{{x-5}} \le 4x + 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x\left( {x-4} \right)}}{{x-4}} + \dfrac{{x-4}}{{x-4}}-\dfrac{1}{{x-4}} + \dfrac{{3x\left( {x-5} \right)}}{{x-5}} + \dfrac{2}{{x-5}} \le 4x + 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x + 1-\dfrac{1}{{x-4}} + 3x + \dfrac{2}{{x-5}} \le 4x + 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{{x-5}}-\dfrac{1}{{x-4}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x-3}}{{\left( {x-5} \right)\left( {x-4} \right)}} \le 0.\)

Следовательно, решение второго неравенства  \(x\, \in \,\left( {-\infty ;3} \right] \cup \left( {4;5} \right).\)

Найдем общее решение:

Таким образом, решение исходной системы неравенств:  \(x\, \in \,\left\{ 3 \right\} \cup \left( {4;{{\log }_2}17} \right].\)

Ответ:  \(\left\{ 3 \right\} \cup \left( {4;{{\log }_2}17} \right].\)