Решим первое неравенство:
\(2 \cdot {3^{2x + 4}}-245 \cdot {3^x} + 3 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2 \cdot {3^4} \cdot {3^{2x}}-245 \cdot {3^x} + 3 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,162 \cdot {3^{2x}}-245 \cdot {3^x} + 3 \le 0.\)
Пусть \({3^x} = t,\) тогда:
\(162{t^2}-245t + 3 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{1}{{81}} \le t \le \dfrac{3}{2}.\)
Возвращаюсь к прежней переменной, получим:
\(\dfrac{1}{{81}} \le {3^x} \le \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{3^{-4}} \le {3^x} \le {3^{{{\log }_3}\dfrac{3}{2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-4 \le x \le {\log _3}\dfrac{3}{2}.\)
Решим второе неравенство:
\({\log _2}\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) > 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _2}\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) > {\log _2}4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 4x + 5 > 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + 4x + 1 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;-2-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-2 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\)
Найдём общее решение:
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x \in \left[ {-4;-2-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-2 + \sqrt 3 ;{{\log }_3}1,5} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-4;-2-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-2 + \sqrt 3 ;{{\log }_3}1,5} \right].\)