Системы неравенств. Задача 17

ОТВЕТ: \(\left( {\,{{\log }_4}\dfrac{2}{3};\,0} \right) \cup \left[ {\,{{\log }_2}\dfrac{3}{2};\,2} \right].\)

Решим первое неравенство. Пусть  \({2^x} = t,\)  тогда:

\(\dfrac{{{t^2}}}{{t-1}}-\dfrac{{t + 12}}{3} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{3{t^2}-{t^2}-12t + t + 12}}{{3\left( {t-1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2{t^2}-11t + 12}}{{3\left( {t-1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {2t-3} \right)\left( {t-4} \right)}}{{3\left( {t-1} \right)}} \le 0\)

Следовательно,  \(\left[ \begin{array}{l}t < 1,\\\dfrac{3}{2} \le t \le 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{2^x} < 1,\\\dfrac{3}{2} \le {2^x} \le 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{2^x} < {2^0},\\{2^{{{\log }_2}\dfrac{3}{2}}} \le {2^x} \le {2^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x < 0,\\{\log _2}\dfrac{3}{2} \le x \le 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{3}{2};2} \right].\)

Решим второе неравенство:

\({\log _4}\left( {3 \cdot {4^{x + 1}}-8} \right) < 2x + 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _4}\left( {3 \cdot {4^{x + 1}}-8} \right) < {\log _4}{4^{2x + 1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 \cdot {4^x} \cdot 4-8 < {4^{2x}} \cdot 4,}\\{3 \cdot {4^x} \cdot 4-8 > 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первое неравенство последней системы:

\(3 \cdot {4^x} \cdot 4-8 < {4^{2x}} \cdot 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{4^{2x}}-3 \cdot {4^x} + 2 > 0.\)

Пусть  \({4^x} = t,\)  тогда:

\({t^2}-3t + 2 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t < 1,\\t > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{4^x} < 1,\\{4^x} > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x < 0,\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\infty } \right).\)

Рассмотрим второе неравенство последней системы:

\(3 \cdot {4^x} \cdot 4-8 > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3 \cdot {4^x} \cdot 4 > 8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{4^x} > \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{4^x} > {4^{{{\log }_4}\dfrac{2}{3}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x > {\log _4}\dfrac{2}{3}.\)

Найдём общее решение последней системы:

\(x\, \in \,\left( {{{\log }_4}\dfrac{2}{3};0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\infty } \right).\)

Найдём общее решение исходной системы:

Таким образом, решение исходной системы неравенств:  \(x \in \left( {{{\log }_4}\dfrac{2}{3};0} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{3}{2};2} \right].\)

Ответ:  \(\left( {{{\log }_4}\dfrac{2}{3};0} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{3}{2};2} \right].\)